分析python二叉树的最大路径和可以使用递归的方式来解决。最大路径和是指从树的任意节点到任意节点的路径中，所有节点值之和最大的路径。接下来将介绍如何使用递归来进行分析。

1. 问题分解

首先，需要定义一个递归函数来计算二叉树的最大路径和。这个递归函数有两个作用：

  • 计算以当前节点为起点的路径的最大和
  • 更新全局的最大路径和

递归函数的输入参数为当前节点，输出为以当前节点为起点的路径的最大和。

2. 实现递归函数

在实现递归函数之前，需要定义一个全局变量来保存当前的最大路径和。

max_path_sum = float('-inf')  # 初始化最大路径和为负无穷

def maxPathSum(root):
    global max_path_sum
    
    if not root:
        return 0
    
    # 1. 分别计算左子树和右子树的最大路径和，如果结果小于0，则将其舍弃
    left_max_sum = max(maxPathSum(root.left), 0)
    right_max_sum = max(maxPathSum(root.right), 0)
    
    # 2. 计算以当前节点为起点的路径的最大和
    current_max_sum = root.val + left_max_sum + right_max_sum
    
    # 3. 更新全局的最大路径和
    max_path_sum = max(max_path_sum, current_max_sum)
    
    # 4. 返回以当前节点为起点的路径的最大和（只能选择左子树或右子树中的一条路径）
    return root.val + max(left_max_sum, right_max_sum)

3. 调用递归函数

调用递归函数时，传入二叉树的根节点，即可得到二叉树的最大路径和。

maxPathSum(root)
print(max_path_sum)

4. 时间复杂度分析
每个节点只会被遍历一次，因此递归函数的时间复杂度是O(N)，其中N是二叉树节点的个数。由于只使用了常数级别的额外空间，因此空间复杂度是O(1)。